Question

如图，在组合体中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AB=4，BC=3，
点P∈平面CC₁D₁D，且PD=PC=2．
（Ⅰ）证明：PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求PA与平面ABCD所成的角的正切值．

Answer

（Ⅰ），要证明PD⊥平面PBC，只需证明PD垂直于平面PBC的两条相交直线即可，由 可得PD⊥PC，而ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，容易证明BC⊥面CC1D1D，而P∈平面CC1D1D，所以PD⊂面CC1D1D，容易得到PD⊥BC，从而得证；
（II）过P点在平面CC1D1D作PE⊥CD于E，连接AE，可得∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角，解三角形PAE即可得到PA与平面ABCD所成的角的正切值．
【解析】
（Ⅰ）证明：因为 ，CD=AB=2，
所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD⊥PC．（1分）
因为ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，
所以BC⊥面CC1D1D，而P∈平面CC1D1D，
所以PD⊂面CC1D1D，所以BC⊥PD．（3分）
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，
由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．（6分）
【解析】
（II）过P点在平面CC1D1D作PE⊥CD于E，连接AE
∵平面ABCD⊥平面PCD
∴PE⊥平面ABCD
∴∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角，
∵PE=2，AE=
∴tan∠PAE==
∴PA与平面ABCD所成的角的正切值为