Question

某选手在电视抢答赛中答对每道题的概率都是，答错每道题的概率都是，答对一道题积1分，答错一道题积-1分，答完n
道题后的总积分记为S_n．
（1）答完2道题后，求同时满足S₁=1且S₂≥0的概率；
（2）答完5道题后，求同时满足S₁=1且S₅=1的概率；
（3）答完5道题后，设ξ=|S₅|，求ξ的分布列及其数学期望．

Answer

（1）由题意“S1=1 且S2≥0”表示“答完2 题，第一题答对，第二题答错；或第一题答对，第二题也答对”这两种情况是互斥的，得到概率．
（2）由题意“S1=1 且S5=1”表示“答完5 道题，第一题答对，后四题答对两道，答错两道”，根据独立重复试验的概率公式得到结果．
（3）因为答完5道题，结果可能是答对0 道，此时S5=-5，ξ=5；可能是答对1 道，此时S5=-3，ξ=3；可能是答对2 道，此时S5=-1，ξ=1；可能是答对3 道，此时S5=1，ξ=1；可能是答对4 道，此时S5=3，ξ=3；可能是答对5 道，此时S5=5，ξ=5，得到概率，写出分布列和期望值．
【解析】
（1）由题意“S1=1 且S2≥0”表示“答完2 题，第一题答对，第二题答错；
或第一题答对，第二题也答对”
此时概率P= 
（2）由题意“S1=1 且S5=1”表示“答完5 道题，第一题答对，后四题答对两道，答错两道”
此时概率P== 
（3）因为答完5道题，结果可能是答对0 道，此时S5=-5，ξ=5；可能是答对1 道，此时S5=-3，ξ=3；可能是答对2 道，此时S5=-1，ξ=1；可能是答对3 道，此时S5=1，ξ=1；可能是答对4 道，此时S5=3，ξ=3；可能是答对5 道，此时S5=5，ξ=5，∴ξ 的取值只能是1，3，5，
，

， 
∴ξ 的分布列为

ξ  3 
P   

∴