Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，
∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求AF与平面PCB所成的角的大小．

Answer

（1）取PC的中点G，连接FG、EG，证出AF∥EG，由线面平行的判定定理，即可证出：AF∥平面PCE．
（2）先证出AF⊥平面PCD，再由（1），可证EG⊥平面PCD，由面面垂直的判定定理即可证出平面PCE⊥平面PCD；
（3）过E作EQ⊥PB于Q点，连QG，则∠QGE为所求的角，解Rt△EGQ即可．
证明：（1）取PC的中点G，连接FG、EG，
∴FG为△CDP的中位线∴FGCD
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点
∴ABCD∴FGAE∴四边形AEGF是平行四边形∴AF∥EG
又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE∴AF∥平面PCE
（2）∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面ADP，又AF⊂平面ADP∴CD⊥AF
直角三角形PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形∴PA=AD=2
∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CD∩PD=D
∴AF⊥平面PCD∵AF∥EG∴EG⊥平面PCD
又EG⊂平面PCE 平面PCE⊥平面PCD
【解析】
（3）过E作EQ⊥PB于Q点，连QG，CB⊥面PAB
∴⇒QE⊥面PCB，则∠QGE为所求的角．
S△PEB=BE•PA=PB•EQ⇒EQ=
在△PEC中，PE=EC=，G为PC的中点，∴EG=，
在Rt△EGQ中，sin∠EGQ=
∴∠EGQ=30°