Question

如图所示，PQ为平面α、β的交线，已知二面角α-PQ-β为直二面角，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB=kAB（k∈R*），∠BAP=45°．
（1）证明：BC⊥PQ；
（2）设点C在平面α内的射影为点O，当k取何值时，O在平面ABC内的射影G恰好为△ABC的重心？
（3）当时，求二面角B-AC-P的大小．

Answer

（1）在平面β内过点C作CE⊥PQ于点E，由题知点E与点A不重合，连接EB．看出点C在平面α内的射影为点E，根据线与线垂直得到线与面垂直，得到结论．
（2）由（1）知，O点即为E点，设点F是O在平面ABC内的射影，连  接BF并延长交AC于点D，由题意可知，若F是△ABC的重心，则点D为AC的中点，根据三垂线定理得到线与线垂直，得到结论．
（3）以O为原点，以OB、OA、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，设出线段的长度，表示出要用的点的坐标，做出两个平面的法向量，根据向量之间的角度来求面与面的夹角．
【解析】
（1）在平面β内过点C作CE⊥PQ于点E，由题知点E与点A不重合，连接EB．
∵α⊥β，α∩β=PQ，∴CE⊥α，即点C在平面α内的射影为点E，
又∵CA=CB，∴EA=EB．∵∠BAE=45°，∴∠ABE=45°，∠AEB=90°，故BE⊥PQ，又∵CE⊥PQ，∴PQ⊥平面EBC，∵BC⊂平面EBC，故BC⊥PQ．
（2）由（1）知，O点即为E点，设点F是O在平面ABC内的射影，连  接BF并延长交AC于点D，由题意可知，若F是△ABC的重心，则点D为AC的中点．
∵BO⊥PQ，平面角α-PQ-β为直二面角，
∴BO⊥β，∴OB⊥AC，由三垂线定理可知AC⊥BF，即AC⊥BD，∴AB=BC=AC，即k=1；反之，当k=1时，三棱锥O-ABC为正三棱锥，此时，点O在平面ABC内的射影恰好为△ABC的重心．
（3）由（2）知，可以O为原点，以OB、OA、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）
不妨设，在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，所以BO=AO=，由CA=CB=kAB且得，AC=2，∴OC=1，则．
所以
设n1（x，y，z）是平面ABC的一个法向量，由得
取x=1，得
易知n2=（1，0，0）是平面β的一个法向量，
设二面角B-AC-P的平面角为θ，所以，由图可知，
二面角B-AC-P的大小为．