Question

已知（-1＜x＜1）
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）若a，b∈（-1，1），证明：；
（3）证明对任意常数k∈R，f（x）=k有且仅有一解．

Answer

（1）先求定义域，看是否关于原点对称，再用定义判断．
（2）若a、b∈（-1，1），先化简f（a）+f（b），再化简f（ ）的解析式，然后作比较发现是相等的式子．
（2）用单调性定义证明，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形，与0比较．
【解析】
（1）
又x∈（-1，1），所以函数f（x）是奇函数
（2）若a、b∈（-1，1），f（a）+f（b）=lg +lg =lg ，
f（ ）=lg =lg ，∴f（a）+f（b）=f（ ）．
（3）设-1＜x＜1，△x=x2-x1＞0，
因为1-x1＞1-x2＞0；1+x2＞1+x1＞0所以
所以 所以函数 在（-1，1）上是增函数．
从而对任意常数k∈R，f（x）=k有且仅有一解．