Question

以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品出厂价格y₁是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店内的销售价格y₂是在8元的基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元．
（1）分别求出y₁、y₂关于第x月份的函数解析式；
（2）假设某商店每月进货这种商品m件，且当月能售完，问哪个月盈利最大？最大盈利为多少元？

Answer

（1）分别设出出厂价波动函数和售价波动函数，利用最高和最低价分别振幅A和B，根据月份求得周期进而求得ω1和ω2，根据最大值求得φ1和φ2；
（2）由（1）中出厂价格及销售价格，利用y=y2-y1，求得每件盈利的表达式，利用正弦函数的性质求得y取最大值时x的值．
【解析】
（I）设y1=Asin（ωx+φ）+B
∵y1是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，
∴B=6
又∵3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，
∴A=2，T=2×（7-3）=8=，
∴ω=
则y1=2sin（x+φ）+6
将（3，8）点代入得：φ=
故y1=2sin（x）+6
同时由y2是在8元的基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元
可得y2=2sin（x）+8
（II）每件盈利  y=m（y2-y1）=2msin（x-）+8m-[2msin（x）+6m]=（-2sin x+2）m
则当当sin x=-1，x=2kπ-，x=8k-2时y取最大值
当k=1，即x=6时，y取最大值
∴估计6月份盈利最大