Question

定义在（0，+∞）的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，x＞1时f（x）＞0．
（1）求；
（2）判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer

（1）利用赋值法来求，根据函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），先求出f（1）的值，把1用2×表示，再根据函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，求出f（）的值．
（2）利用函数单调性的定义来证明，其中当判断f（x2）-f（x1）的符号时，把x2用x1表示，再根据函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），即可判断．
【解析】
（1）∵函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x）=f（x×1）=f（x）+f（1），
∴f（1）=0，
∵f（1）=f（2×）=f（2）+f（）=0
∴f（）=-f（2）=-1
（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
f（x2）-f（x1）=f（x1）-f（x1）=f（）+f（x1）-f（x1）=f（）
∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
∴
∵x＞1时f（x）＞0，∴f（）＞0
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2）
∴y=f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数