Question

（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB、BC的中点，
（Ⅰ）求证：EF∥面A₁C₁B．
（Ⅱ）求B₁D与平面A₁C₁B所成的角度数．
（2）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别为AA₁，AB，BB₁，B₁C₁的中点，求异面直线EF与GH所成的角．
（3）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ABC₁D₁与正方体的其它各个面所成二面角的大小分别是多少？

Answer

（1）（Ⅰ）先建立空间直角坐标系，欲证EF∥面A1C1B，只需证明EF平行于平面A1C1B内的一条直线，利用空间向量证明是平行向量，即可证明EF∥A1C1，而A1C1是平面A1C1B内的一条直线，所以EF∥面A1C1B．
（Ⅱ）欲求B1D与平面A1C1B所成的角，只需证明DB1⊥平面BA1C1，则B1D与平面A1C1B所成的角为90°，利用空间向量证明
DB1⊥平面BA1C1，先求出，以及平面A1C1B中两个向量，，用计算，，都等于0，即可证明DB1⊥平面BA1C1，求出B1D与平面A1C1B所成的角的度数．
（2）欲求异面直线EF与GH所成的角，只需求出向量的夹角，再结合异面直线所成角的范围判断异面直线EF与GH所成的角应为向量夹角的补角．
（3）先求出平面ABC1D1的法向量，再求出正方体各面的法向量，平面ABC1D1的法向量与正方体各面的法向量所成角即为平面ABC1D1与正方体的各个面所成二面角的大小．
【解析】
设正方体棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1）
（1）（Ⅰ）∵E（1，，0），F（，1，0），∴=（-，，0），
∵=（-1，1，0），∴，∴EF∥A1C1，
∵A1C1⊂平面A1C1B，∴EF∥面A1C1B
（Ⅱ）∵=（1，1，1），=（-1，1，0），=（0，-1，1）
∴=-1×1+1×1+1×0=0，=-1×1+1×1+1×0=0
∴DB1⊥A1C1，DB1⊥A1B，A1C1∩A1B=A1，
∴DB1⊥平面BA1C1，
∴B1D与平面A1C1B所成的角度数为90°
（2）∵E（1，0，），F（（1，，0），G（1，1，），H（，1，1）
∴=（0，，-），=（-，0，）
∵cos＜＞===-
∴＜＞=120°，异面直线所成的角范围为（0，）
∴异面直线EF与GH所成的角为60°
（3）∵DA1⊥AD1，DA1⊥AB，
∴DA1⊥平面ABC1D1，
∴平面ABC1D1的法向量为=（1，0，1）
由正方体的性质可知：平面ABCD的法向量为=（0，0，1）；
平面AD1的法向量为=（0，1，0）；平面CD1的法向量为=（1，0，0）；
cos＜＞=，cos＜＞=0，cos＜＞=，
∴平面ABC1D1与正方体的其它各个面所成二面角的大小分别是45°，90°，45°