Question

已知f（x）=（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求k的值，并求该函数的定义域；
（2）根据（1）的结果，判断f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（3）解关于x的不等式f（x²+2x+2）+f（-2）＞0．

Answer

（1）根据函数f（x）为奇函数可知f（x）=-f（-x），把f（x）的解析式代入即可求得k．利用真数为正，求出定义域．
（2）利用函数单调性的定义，通过对a分类讨论判断出f（x）的单调性．
（3）对a分类讨论，利用函数的单调性脱去对数符号，解不等式求出解集．
【解析】
（1）
∴
∴（k2-1）x2=0，又k≠1∴k=-1；
∴
由＞0，得（x+1）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-1
∴f（x）的定义域为{x|x＜-1或x＞1}．
（2）设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=-==loga
又∵x2＞x1＞1，∴x1-x2＜x2-x1．∴0＜x1x2-x2+x1-1＜x1x2-x1+x2-1.0＜＜1．
当a＞1时，f（x2）-f（x1）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜1时，f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）原不等式即为f（x2+2x+2）＞f（2）． 当a＞1时 得出，1＜x2+2x+2＜2，解得2＜x＜0，且x≠-1．
当0＜a＜1时，得出x2+2x+2＞2，解得 x＜-2，或x＞0．