Question

已知椭圆G与双曲线12x²-4y²=3有相同的焦点，且过点．
（1）求椭圆G的方程；
（2）设F₁、F₂是椭圆G的左焦点和右焦点，过F₂的直线l：x=my+1与椭圆G相交于A、B两点，请问△ABF₁的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意可求椭圆的焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0），2a=|PF1|+|PF2|=4，从而可求a，c，结合以b2=a2-c2可求b，进而可求椭圆G的方程
（2）设△ABF1内切圆M的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形即=，当最大时，r也最大，△ABF1内切圆的面积也最大，而，利用方程的根与系数的关系结合函数的性质可求
【解析】
（1）双曲线12x2-4y2=3的焦点坐标为（±1，0），所以椭圆的焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0）…（1分）
设椭圆的长轴长为2a，则2a=|PF1|+|PF2|=4，即a=2，
又c=1，所以b2=a2-c2=3∴椭圆G的方程…（5分）
（2）如图，设△ABF1内切圆M的半径为r，与直线l的切点为C，
则
即=
当最大时，r也最大，△ABF1内切圆的面积也最大，…（7分）
设A（x1，y1）、B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），则，
由，得（3m2+4）y2+6my-9=0，…（9分）
解得，，
∴，令，则t≥1，且m2=t2-1，
有，令，则，…（11分）
当t≥1时，f'（t）＞0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，，
即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得，这时所求内切圆的面积为，…（12分）
∴存在直线l：x=1，△ABF1的内切圆M的面积最大值为．…（13分）