Question

已知数列{a_n}中，，若以a₁，a₂，…，a_n为系数的二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n∈N⁺，n≥2）都有根α，β且3α-αβ+3β=1，则{a_n}的前n项和S_n=    ．

Answer

根据韦达定理分别求得α+β和αβ代入3α-αβ+3β=1，进而求得an=an-1+，从而可推知 为定值，由此得数列{an-}为等比数列，根据等比数列的通项公式进而可得an，再根据等比数列的求和公式，求得Sn．
【解析】
由题意，∵α+β=，αβ=代入3α-αβ+3β=1得an=an-1+，
∴==为定值．
∴数列{an-}是等比数列．
∵a1-=-=，
∴an-=×（ ）n-1=（ ）n．
∴an=（ ）n+．
∴Sn=（ +++）+=+=-．
故答案为：