Question

已知f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的函数，且对于任意a，b∈R，满足f（2）=2，f（ab）=af（b）+bf（a），记，其中n∈N^*．
考察下列结论：①f（0）=f（1）；②f（x）是R上的偶函数；③数列{a_n}为等比数列；④数列{b_n}为等差数列．
其中正确结论的序号有    ．

Answer

令a=b=0，得f（0）=0，令a=b=1，得f（1）=0．所以f（0）=f（1）．由f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，得f（-1）=0，f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），所以f（x）是R上的奇函数．由f（2n）=n×2n，能导出==2n-1，==n．
【解析】
令a=b=0，
则f（0）=0，
令a=b=1，
则f（1）=2f（1），所以f（1）=0．
∴f（0）=f（1）．故①正确．
∵f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，
∴f（-1）=0，
∴f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数．故②不正确．
∵，
∴=，
以此类推
（共n个）=n，
∴f（2n）=n×2n．
∴==2n-1，故③正确．
==n，故④正确．
故答案为：①③④．