Question

对于数列{a_n}，若定义一种新运算：△a_n=a_n+1-a_n（n∈N⁺），则称{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列；类似地，对正整数k，定义：△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n），则称{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶差分数列．
（1）若数列{a_n}的通项公式为a_n=5n²+3n（n∈N⁺），则{△a_n}，{△²a_n}是什么数列？
（2）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N⁺），设数列{a_n}的前n项和为S_n，求{a_n}的通项公式及的值．

Answer

（1）利用：△an=an+1-an（n∈N+），∵△2an=△an+1-△an=an+2-an+1-（an+1-an）=，即可求得数列通项，从而可得结论；
（2）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，可得△an-an=2n，即可得an+1-2an=2n，，构造可得，结合等差数列的通项可求，进而可求{an}的通项公式，从而可求数列{an}的前n项和为Sn，进而可求极限．
【解析】
（1）∵△an=an+1-an，an=5n2+3n
∴△an=5（n+1）2+3（n+1）-（5n2+3n）=10n+8
∴{△an}是以18 为首项，10为公差的等差数列
∵△2an=△an+1-△an=an+2-an+1-（an+1-an）=20n+26
∴{△2an}是以46为首项，20为公差的等差数列
（2）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，
得△an-an=2n，
∴an+1-2an=2n，
∴
∴数列{}是首项为，公差为的等差数列，
∴，
∴an=n•2n-1．
设①
则②
①-②：
∴
∴
∴==0