Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），m为正的常数．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）求g（x）的单调区间，并指明单调性；
（3）若a＞0，b＞0，证明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．

Answer

（1）根据f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），可直接求得g（x）的定义域．
（2）求g（x）的导函数g'（x），然后分别对g'（x）＞0以及g'（x）＜0两种情况进行讨论．继而求得g（x）的单调区间
（3）根据（2）的结论，按照g（x）的单调性，证明f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2，整理即为结论．
【解析】
（1）根据题意，f（x）的定义域为{x|x＞0}，
要使g（x）有意义，则，
那么g（x）的定义域为{x|a＜x＜m}．
（2）g（x）=f（x）+f（m-x）=xlnx+（m-x）ln（m-x）
则g'（x）=lnx+1-ln（m-x）-1
=ln
由g'（x）＞0，得，
解得：
由g'（x）＜0
得：
解得：
∴g（x）在上为增函数，
在上为减函数
（3）要证f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．
只须证f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2
而在（2）中，取m=a+b，
则g（x）=f（x）+f（a+b-x）
则g（x）在[，a+b）上为增函数，
在上为减函数．
∴g（x）的最小值为：
g（）=f（）+f（a+b-）=2f（）
=（a+b）ln
=（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2
那么g（a）≥g（）
得：f（a）+f（a+b-a）≥（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2=f（a+b）-（a+b）ln2
即：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）