Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为线段PC、BD的中点．
（1）求证：直线EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（3）线段AB上是否存在一点M，使二面角M-PD-C为45°．

Answer

取AD的中点O，连接OP，OF．因为PA=PD，所以PO⊥AD，再根据侧面PAD⊥底面ABCD，结合平面与平面垂直的性质定理，得到PO⊥平面ABCD，然后在△PAD中利用勾股定理的逆定理得到△PAD是等腰直角三角形，并且OP=OA=OD=．这样就可以O为原点，直线OA、OF、OP为x、y、z轴建立空间直线坐标系，得到A、B、C、D、F、P各点的坐标．
（1）分别算出向量和平面PAD的法向量的坐标，可以算出它们的数量积为零，从而得到和互相垂直，证出直线EF∥平面PAD；
（2）取平面PAD内的向量，通过坐标计算证出向量与互相垂直，从而直线PA、CD互相垂直，再结合PA、PD互相垂直，根据线面垂直的判定定理得到PA⊥平面PDC，结合面面垂直的判定定理证出平面PDC⊥平面PAD；
（3）先假设线段AB上存在一点M（），满足二面角M-PD-C大小为45°，然后再设平面PBD的法向量为
=（x，y，z），结合向量与、与的数量积都等于0，联列方程组解出x，y，z的比例，取x=1，得到向量
=（1，，-1），最后根据两个向量与平面PDC的法向量为=（，0，-）的夹角为45°，用数量积公式解出，从而找到符合题意的M点．
【解析】
如图，取AD的中点O，连接OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD
∴PO⊥底面ABCD，
∵O、F分别为AD、BD的中点，
∴OF∥AB，结合ABCD是正方形，
可得OF⊥AD．
∵PA=PD=AD，
∴PA⊥PD，OP=OA=OD=．
以O为原点，直线OA、OF、OP为x、y、z轴建立空间直线坐标系，
则有A（，0，0），F（0，，0），D（-，0，0），P（0，0，），B（，a，0），C（-，a，0），．
∵E为PC的中点，∴E（-，，）．
（1）由OF⊥平面PAD，得平面PAD的法向量为=（0，，0），
而=（，0，-），且=，
∴EF∥平面 PAD
（2）=（，0，-），=（0，a，0）
∴，
∴，从而PA⊥CD，
又∵PA⊥PD，PD∩CD=D，
∴PA⊥平面PDC，而PA⊂PAD，
∴平面PDC⊥平面PAD
（3）由（2）知平面PDC的法向量为=（，0，-）．
设线段AB上存在一点M（），使二面角M-PD-C为45°．
再设平面PBD的法向量为=（x，y，z）．
∵，，
∴由，可得，
令x=1，则，二面角M-PD-C为45°
∴．
∴
即线段AB上存在一点M，当时，二面角M-PD-C的大小为45°．