Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx-2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．

Answer

（Ⅰ）由题意设：抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=-，根据抛物线的大于可得：4+，进而得到答案．（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程得  k2x2-（4k+8）x+4=0，根据题意可得△=64（k+1）＞0即k＞-1且k≠0，再结合韦达定理可得k的值．
【解析】
（Ⅰ）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=-，
∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，
∴4+∴p=4
∴抛物线C的方程为y2=8x
（Ⅱ）由消去y，得  k2x2-（4k+8）x+4=0
∵直线y=kx-2与抛物线相交于不同两点A、B，则有k≠0，△=64（k+1）＞0，解得k＞-1且k≠0，
又=2，
解得   k=2，或k=-1（舍去）
∴k的值为2．