Question

已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点
（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC
（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长．

Answer

（Ⅰ）证明BD平分∠ABC可通过证明D是的中点，利用相等的弧所对的圆周角相等证明BD是角平分线；
（Ⅱ）由图形知，可先证△ABH∽△DBC，得到，再由等弧所对的弦相等，得到AD=DC，从而得到，求出AH的长
【解析】
（Ⅰ）∵AC∥DE，直线DE为圆O的切线，∴D是弧的中点，即
又∠ABD，∠DBC与分别是两弧所对的圆周角，故有∠ABD=∠DBC，
所以BD平分∠ABC
（Ⅱ）∵由图∠CAB=∠CDB且∠ABD=∠DBC
∴△ABH∽△DBC，∴
又
∴AD=DC，
∴
∵AB=4，AD=6，BD=8
∴AH=3