Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x，其定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）试判断m，n的大小并说明理由．

Answer

（1）由f（x）=（x2-3x+3）•ex，知f′（x）=（x2-x）ex，令f′（x）≥0，则x≥1或x≤0，由此能够确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数．
（2）根据-2＜t≤0，0＜t≤1，t＞1，进行分类讨论，由此能够判断m，n的大小并说明理由．
【解析】
（1）∵f（x）=（x2-3x+3）•ex，
∴f′（x）=（x2-x）ex（2分）
令f′（x）≥0，则x≥1或x≤0，
∴f（x）在（-∞，0]，[1，+∞）上单调递增，在[0，1]上单调递减（5分）
∴-2＜t≤0．（7分）
①若-2＜t≤0，则f（x）在[-2，t]上单调递增，
∴f（t）＞f（-2），
即n＞m．（9分）
②若0＜t≤1，则f（x）在[-2，0]上单调递增，在[0，t]上单调递减
又f（-2）=，f（1）=e，
∴f（t）≥f（1）＞f（-2），即n＞m．（11分）
③若t＞1，则f（x）在（_∞，0]，[1，t]上单调递增，在[0，1]上单调递减
∴f（t）＞f（1）＞f（-2），即n＞m．（13分）     
综上，n＞m．（15分）