Question

已知条件p：函数f（x）=log₃x-3，（1≤x≤9），设F（x）=f²（x）+f（x²）．
（1）求F（x）的最大值及最小值；
（2）若条件q：“|F（x）-m|＜2”，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer

（1）把函数f（x）代入F（x），利用换元法转化为二次函数然后求出函数的最大值及最小值；
（2）通过|F（x）-m|＜2，求出F（x）d的范围，利用p是q的充分条件，得到不等式组，然后求实数m的取值范围．
【解析】
（1）∵函数f（x）=log3x-3，（1≤x≤9），
∴F（x）=f2（x）+f（x2）
=（log3x-3）2+log3x2-3
=log32x-4log3x+6   （1≤x≤3）（3分）
令t=log3x，则t∈[0，1]，F（x）=t2-4t+6=（t-2）2+2
∴F（x）max=6，F（x）min=3．（6分）
（2）|F（x）-m|＜2⇔m-2＜F（x）＜m+2，
因为p是q的充分条件，∴即4＜m＜5．
∴m的取值范围是4＜m＜5（12分）