已知函数f（x）=，a∈R （I）求f（x）的极值；（II）若lnx-kx＜0...

已知函数f（x）=

，a∈R
（I）求f（x）的极值；
（II）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（III）已知x₁＞0，x₂＞0，且x₁+x₂＜e，求证：x₁+x₂＞x₁x₂．

（1）先对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x的值，再根据导函数的正负判断函数的单调性，进而确定极值．（2）将问题转化为在（0，+∞）上恒成立的问题，然后求函数的最大值，令k大于这个最大值即可．（3）先判断函数f（x）在（0，e）上的单调性，进而得到x1，x2的关系得证．【解析】（Ⅰ）∵，令f/（x）=0得x=ea 当x∈（0，ea），f/（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（ea，+∞），f/（x）＜0，f（x）为减函数，可知f（x）有极大值为f（ea）=e-a （Ⅱ）欲使lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，只需在（0，+∞）上恒成立，设由（Ⅰ）知，，∴ （Ⅲ）∵e＞x1+x2＞x1＞0，由上可知在（0，e）上单调递增， ∴①，同理② 两式相加得ln（x1+x2）＞lnx1+lnx2=lnx1x2 ∴x1+x2＞x1x2

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考点分析：

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已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若对于任意x∈[0，1]，总有4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0成立，求实数a的取值范围．

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