Question

若定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2，则下列说法一定正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数
C．f（x）+2是奇函数
D．f（x）+2是偶函数

Answer

对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，由此得f（0）=-2，f（x）+2=-f（-x）-2=-[f（-x）+2]，即可得答案．
【解析】
∵对任意x1，x2∈R有
f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，
∴令x1=x2=0，得f（0）=-2
∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+2，
∴f（x）+2=-f（-x）-2=-[f（-x）+2]，
∴f（x）+2为奇函数．
故选C