Question

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件．记动点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．

Answer

（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，由此能求出其方程．
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x，此时A（x，（2）），B（x，-），=2，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，代入双曲线方程中，得（1-k2）x2-2kbx-b2-2=0．依题意可知方程有两个不相等的正数根，由此入手能求出的最小值．
【解析】
（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
所求方程为：（x＞0）
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x，
此时A（x，），
B（x，-），=2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，
代入双曲线方程中，得：
（1-k2）x2-2kbx-b2-2=01°
依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
解得|k|＞1又=x1x2+y1y2
=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）
=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2
=＞2
综上可知的最小值为2．