Question

已知定义在R上的函数f（x） 满足条件：（1）f（x）+f（-x）=2；（2）对非零实数x，都有2f（x）+f（）=2x++3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=（x≥0）直线 y=n-x分别与函数f（x） 的反函数 交于A，B两点
（其中n∈N*），设 a_n=|A_nB_n|，s_n为数列a_n 的前n项和．求证：当n≥2 时，总有 S_n²＞2（）成立．

Answer

（1）令解析式中的x用代入，得到一个方程组，消去f（）可求出函数的解析式；
（2）先求出An的坐标，依题意得Bn与An关于y=x对称求出Bn的坐标，求出an，从而求出Sn，将sn2-sn-12进行累加可求证得结论．
【解析】
（1）由②知x≠0时⇒
⇒f（x）=x+1（4分）
（2）g（x）=由⇒An（，）
依题意得Bn与An关于y=x对称⇒Bn（，）=（6分）
⇒sn=+⇒sn-sn-1===sn2-+（8分）
⇒sn2-sn-12=（n≥2）累加得sn2-s12=2（++）-（++）
⇒sn2=2（++）+1-（++）（10分）
又1-（++）＞1-（++）=＞0
∴sn2＞（12分）