Question

已知偶函数在（0，+∞）上单调递减．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（2a+1）=f（a），求实数a的值．

Answer

（1）由已知中函数在（0，+∞）上单调递减，根据幂函数在（0，+∞）上的单调性与指数的关系，得到m2-2m-3＜0，结合m∈Z，易函数f（x）为偶函数即m2-2m-3为偶数，我们易求出对应的m值，进而得到函数f（x）的解析式；
（2）由已知中函数f（x）为偶函数，我们可将f（2a+1）=f（a），转化为|2a+1|=|a|，根据绝对值的定义，解绝对值方程，即可得到答案．
【解析】
（1）由m2-2m-3＜0得-1＜m＜3又m∈Z
∴m=0或1或2而m2-2m-3为偶数
∴m2-2m-3=-4，∴f（x）=x-4
（2）∵函数f（x）为偶函数，若f（2a+1）=f（a），
则|2a+1|=|a|，
即2a+1=a或2a+1=-a
∴a=-1或．