Question

已知函数，x∈[m，n]（m＜n）．
（1）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；
（2）f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求常数a的取值范围．

Answer

（1）由∀x1、x2∈[m，n]，当x1＜x2时，＜0，证明函数f（x）在[m，n]上单调递增
（2）∵f（x）在[m，n]上单调递增，∴f（x）在[m，n]上的值域为[f（m），f（n）]，∴f（m）=m且f（n）=n∴f（x）=x有两相异的同号根m、n，利用韦达定理列出所需不等式，即可解得a的取值范围．
【解析】
（1）∵[m，n]⊆（-∞，0）∪（0，+∞）∴m＜n＜0或0＜m＜n
对∀x1、x2∈[m，n]，当x1＜x2时，=-
∵m＜x1＜x2＜n，
∴x1x2＞0且x2-x1＞0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[m，n]上单调递增．
（2）∵f（x）在[m，n]上单调递增，
∴f（x）在[m，n]上的值域为[f（m），f（n）]
∴f（m）=m且f（n）=n，
∴f（x）=x有两相异的同号根m、n
即   需，
∴或．