Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，-），（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若⊥，求k的值．

Answer

（1）由题中条件：“点P到两点（0，-），（0，）的距离之和等于4，”结合椭圆的定义知其轨迹式样，从而求得其方程．
（2）先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y得到一个一元二次方程，再利用根与系数的关系结合向量垂直的条件列关于k方程式即可求得参数k值．
【解析】
（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，-），（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b==1，故曲线C的方程为x2+=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足消去y并整理得
（k2+4）x2+2kx-3=0，
故x1+x2=-，x1x2=-．
∵⊥
∴x1x2+y1y2=0．
∵y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
∴x1x2+y1y2=---+1=0，化简得-4k2+1=0，所以k=±．