Question

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A₁，点B在l的射影为B₁，已知AB=2，AA₁=1，BB₁=，求：
（Ⅰ）直线AB分别与平面α，β所成角的大小；
（Ⅱ）二面角A₁-AB-B₁的大小．

Answer

（I）因为α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射利用直线与平面所成角的定义找到该斜线在平面内的射影即可以求解影为B1，利用直线与平面所成角的定义找到该斜线在平面内的射影即可以求解；
（II）因为BB1⊥α，利用线面垂直的判定定理可以得到平面ABB1⊥α，再利用三垂线定理根据二面角的定义求出二面角的平面角的平面角，在放到三角形中解出即可．
【解析】
（Ⅰ）如图，连接A1B，AB1，∵α⊥β，α∩β=l，AA1⊥l，BB1⊥l，
∴AA1⊥β，BB1⊥α．则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与α和β所成的角．
Rt△BB1A中，BB1=，AB=2，
∴sin∠BAB1==．
∴∠BAB1=45°．
Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，sin∠ABA1==，
∴∠ABA1=30°．
故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°．
（Ⅱ）∵BB1⊥α，∴平面ABB1⊥α．
在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，
∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．
在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，
∴AB1=B1B=．
∴Rt△AA1B中，A1B===．
由AA1•A1B=A1F•AB得A1F===，
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE==，
∴二面角A1-AB-B1的大小为arcsin．