Question

对于四面体ABCD，下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）．
①相对棱AB与CD所在的直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．

Answer

①假设相对棱AB与CD所在的直线共面，则A，B，C，D四点在同一平面内，与四面体ABCD矛盾；②只有当四面体的对棱垂直，则垂足才是△BCD的三条高线的交点；③如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合．此时所作的两条高所在的直线共面；④对应边中点的连线是平行四边形对角线的交点；⑤不妨设AB为最长棱，分类讨论（i）当AC≥BD时，
在△ACD中，由三角形的 两边之和大于第三边可得，AD+BD＞AB，可判断（ii）当AC＜BD时，在△ABC中，由三角形的 两边之和大于第三边可得AC+BC＞AB，可判断
【解析】
①假设相对棱AB与CD所在的直线共面，则A，B，C，D四点在同一平面内，与四面体ABCD矛盾，故①正确
②只有当四面体的对棱垂直，则垂足才是△BCD的三条高线的交点，故②错误
③如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合．此时所作的两条高所在的直线共面，故③错误
④对应边中点的连线是平行四边形对角线的交点，是正确的．
⑤不妨设AB为最长棱，（i）当AC≥BD时，
在△ACD中，由三角形的 两边之和大于第三边可得，AD+BD＞AB，则AD+AC≥AD+BD＞AB
（ii）当AC＜BD时，在△ABC中，由三角形的 两边之和大于第三边可得AC+BC＞AB，则DB+BC＞BC+AC＞AB
故⑤正确
故答案为：①④⑤