Question

已知函数，x≠0
（1）用定义证明函数为奇函数；
（2）用定义证明函数在（0，）上单调递减，在（）上单调递增；
（3）求函数在[1，4]上的最大值和最小值．

Answer

（1）由函数的定义域关于原点对称，对任意的非零实数x，都有 f（-x）=-f（x），即可证明函数为奇函数．
 （2）设 0＜x1＜x2＜，化简f（x1）-f（x2） 的解析式为（x1-x2） （1- ）＞0，可得函数在
（0，）上单调递减，同理可证函数在（）上单调递增．
（3）由于函数在（1，）上单调递减，在[]上单调递增，故当x=时，函数有最小值等于，
f（1）和f（4）中较大的就是函数在[1，4]上的最大值．
【解析】
（1）证明：∵函数的定义域关于原点对称，且函数，x≠0 满足
∴对任意的非零实数x，都有 f（-x）=-x+=-（）=-f（x），
函数，x≠0是奇函数． （5分）
（2）设 0＜x1＜x2＜，则 f（x1）-f（x2）=-（ ）
=（x1-x2）-=（x1-x2） （1- ）．
由0＜x1＜x2，可得（x1-x2）＜0，（1- ）＜0，
∴（x1-x2） （1- ）＞0，f（x1）＞f（x2），故函数在（0，）上单调递减．
 设 ＜x1＜x2，同理可得 f（x1）-f（x2）=（x1-x2） （1- ），
由 ＜x1＜x2，可得（x1-x2）＜0，（1- ）＞0，
∴（x1-x2） （1- ）＜0，f（x1）＜f（x2），故函数在（）上单调递增．（10分）
（3）由于函数在（1，）上单调递减，在[]上单调递增，
故当x=时，函数有最小值等于==2．
又 f（1）=1+2=3，f（4）=4+=，故函数在[1，4]上的最大值为．（14分）