Question

函数f（x）=x²+ax+b 的图象与直线y=x-2 相切于点（1，-1）处，则f （x）的极小值等于（ ）
A．-2
B．
C．
D．1

Answer

利用切线的斜率是曲线在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程求出切线的斜率建立等式得到a值，利用切点在曲线上求出b值，最后利用二次函数的性质求得f （x）的极小值即可．
【解析】
∵f（x）=x2+ax+b，∴f′（x）=2x+a，
∵函数f（x）=x2+ax+b 的图象与线y=x-2 相切于点（1，-1）处，
∴函数f（x）=x2+ax+b在x=1处的切线斜率为1，
∴2+a=1，⇒a=-1，
又∵切点坐标为（1，-1）代入f（x）=x2-x+b得
-1=12-1+b
∴b=-1
∴f（x）=x2-x-1，
故当x=时，f （x）的极小值f （）=-，
故选C．