Question

设某银行的总存款额与银行付给存储户的年利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），若银行以9%的年利率将总存款的80%贷出，问：银行给存储户支付的年利率为多少时，银行才能获得最大利润？

Answer

设银行支付给储户的年利率为x，银行获得的年利润为y，然后建立年利润y关于年利率x的函数关系，利用导数研究函数的最值即可．
【解析】
设银行支付给储户的年利率为x，银行获得的年利润为y，
年利润为y=贷款所得利润-支付储户利息的成本
则y=kx2×0.8×0.09-kx2•x=0.072kx2-kx3（x＞0）．
y'=0.144kx-3kx2=3kx（0.048-x），
令y'=0，得x=0.048，
当x＜0.048时，y'＞0；
 当x＞0.048时，y'＜0．
故当x=0.048时，y取极大值，
并且这个极大值就是函数y的最大值．
所以，当银行支付给储户年利率为4.8%时，银行才能获得最大利润．