Question

设函数f（x）=ln（x+2），
（1）求函数y=f（x）-2x 的单调区间；   
（2）对任意正整数n比较 与 的大小，并加以证明；
（3）（实验班学生必答题 10分）如果不等式 在（-2，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由f（x）=ln（x+2），知y=f（x）-2x=ln（x+2）-2x，由x+2＞0，得x＞-2．所以，由此能求出函数y=f（x）-2x 的单调区间．
（2）＞．证明：由f（x）在[1，+∞）上是增函数，知，设g（n）=，则=＜0，g（n）在[1，+∞）上是减函数，由此证明＞．
（3）由，得，设g（x）=a[ln（x+2）-（x+2）]，p（x）=，不等式 在（-2，+∞）内恒成立，等价于当x∈（-2，+∞）时，[g（x）]min≥[p（x）]max．由此能求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=ln（x+2），
∴y=f（x）-2x=ln（x+2）-2x，
∵x+2＞0，
∴x＞-2．
，
由＞0，
得x＜-，
∴y=f（x）-2x的递增区间是（-2，-）．
由＜0，
得x＞-，
∴y=f（x）-2x的递减区间是（-，+∞）．
（2）＞．
证明：∵f（x）=ln（x+2），
∴x＞-2，，
∴f（x）在（-2，+∞）上是增函数，
∵n是任意正整数，
∴在[1，+∞）上是减函数，
∴在[1，+∞）上的最小值，
设g（n）=，
则=＜0，
∴g（n）在[1，+∞）上是减函数，
∴g（n）在[1，+∞）上的最大值g（n）max=g（1）=．
∵=1n2-ln（）=ln＞ln1=0，
∴．
∴＞．
（3）∵f（x）=ln（x+2），
∴由，
得 ，
∴，
设g（x）=a[ln（x+2）-（x+2）]，p（x）=，
不等式 在（-2，+∞）内恒成立，
等价于当x∈（-2，+∞）时，[g（x）]min≥[p（x）]max．
∵，
令=0，得x=-1．
①当a＞0时，
x∈（-2，-1）时，g′（x）＞0，g（x）是增函数；
x∈（-1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）是减函数；
∴g（x）有最大值g（-1），无最小值．不合题意．
②当a=0时，g（x）=0，不合题意；
③当a＜0时，
x∈（-2，-1）时，g′（x）＜0，g（x）是减函数；
x∈（-1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）是增函数；
∴g（x）有最小值g（x）min=g（-1）=-a．
综上所述，当a＜0时，g（x）有最小值g（x）min=g（-1）=-a．
p（x）==，
∴．
∵[g（x）]min≥[p（x）]max，
∴，
∴a．
故实数a的取值范围是（-∞，-]．