Question

某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．
（1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；
（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由．

Answer

（1）我们设该厂应隔n（n∈N+）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1元，由已知中该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管费为平均每公斤每天0.03元（当天用掉的饲料不计保管费用），购买饲料每次支付运费300元．我们求出y1的解析式，然后利用基本不等式，即可求出y1取最小值时的n值；
（2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔n天（n≥25）购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2元，我们计算y2的解析式，进而根据基本不等式求出y2的最小值，与（1）中所得y1的最小值比较后，即可得到结论．
【解析】
（1）设该厂应隔n（n∈N+）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1元…（1分）
∵饲料的保管费用每天比前一天少200×0.03=6（元），
∴x天饲料的保管费用共是6（n-1）+6（n-2）+…+6=3n2-3n…（2分）
从而有 …（3分）=…（5分）
当且仅当 ，即n=10时，y1有最小值417  …（6分）
即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小．
（2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔n天（n≥25）购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2元，则 =…（8分）
∵
∴当x≥25时，y2′＞0，即函数y2在[25，+∞）上是增函数…（10分）
∴当x=25时，y2取得最小值390
∵390＜417，故该厂应该利用此优惠条件    …（12分）．