Question

已知直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，，，椭圆F以A、B为焦点且经过点D．
（1）建立适当坐标系，求椭圆F的方程；
（2）若点E满足=，是否存在不平行于AB的直线L与椭圆F交于M、N两点，且|ME|=|NE|？若存在，求出直线L与AB夹角的范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）考虑先以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设椭圆F方程为：，则由题意可得c=1，D（-1，）在椭圆上代入可求a，b，从而可求椭圆得方程     
（2）由=可求E（0，），若L⊥AB，则与题意不符，可设L：y=kx+m（k≠0），由直线与椭圆有2个交点可得△＞0，即4k2+3＞m2，利用方程根与系数关系可求，，可得从而可求
【解析】
（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴
建立平面直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）．c=1
设椭圆F方程为：
，D（-1，）在椭圆上代入可得
∴椭圆F的方程是：．             （7分）
（2）由=得：E（0，），若L⊥AB，则与题意不符，
故可设L：y=kx+m（k≠0）
由 ，
若M、N存在，则△＞0即64k2m2-4（3+4k2）•（4m2-12）＞0，4k2+3＞m2，
设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点F（x，y），
则，，
∴∴4k2+3＜4
∴∴且k≠0
∴L与AB的夹角的范围是（0，）．       （14分）