Question

函数在区间（0，+∞）上单调递增，那么实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0
B．a＞0
C．a≤0
D．a＜0

Answer

先求函数的导数，根据函数的增区间上导数大于0，可知，若函数在区间（0，+∞）上单调递增，则x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，再通过分类讨论a为何值时f′（x）＞0恒成立即可求出a的范围．
【解析】
f′（x）==，
∵函数在区间（0，+∞）上单调递增，∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立．
即当x∈（0，+∞）时，ax2+1＞0恒成立，
当a＞0时，y=ax2+1的图象为开口向上，最低点为（0，1）的抛物线，∴当x∈（0，+∞）时，ax2+1＞0恒成立．
当a=0时，1＞0恒成立．
当a＜0时，y=ax2+1的图象为开口向下，最高点为（0，1）的抛物线，∴当x∈（0，+∞）时，ax2+1＞0不恒成立．
∴实数a的取值范围是a≥0，
故选A