Question

在平面直角坐标系xoy中，点P到两点、的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与曲线C交于A、B两点．
（1）求出曲线C的方程；
（2）若k=1，求△AOB的面积；
（3）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有．

Answer

（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆．从而写出其方程即可；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系和弦长公式，即可求得此时|AB|的值，再由点到直线的距离公式求出AB边上的高，代入面积公式进行求解；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，求出两根之和与积，再由A、B在椭圆上和向量模的公式代入进行化简，根据点A位置和k的范围，判断式子的符号进行证明．
【解析】
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以 为焦点，长半轴为2的椭圆，
则它的短半轴 ，
∴曲线C的方程为 ．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足 ，
消去y并整理得5x2+2x-3=0，故，
∴|AB|===，
∵点O（0，0）到直线l：y=x+1的距离d==，
∴△AOB的面积S=×|AB|×d==；
（Ⅲ）设设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，
消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，
故，
∵A（x1，y1）在椭圆上，∴满足y2=4（1-x2），即y12=4（1-x12），同理y22=4（1-x22），
∴=（x12-x22）+4（1-x12-1+x22）
=-3（x1-x2）（x1+x2）=．
∵A在第一象限，故x1＞0，由 知x2＜0，从而x1-x2＞0．
又∵k＞0，
∴，
即在题设条件下，恒有 ．