Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A₁A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）若棱AA₁上存在一点P，使得，当二面角A-B₁C₁-P的大小为30时，求实数λ的值．

Answer

（I）根据题意建立空间直角坐标系，分别求出两条直线所在的向量．利用向量之间的运算求出两个向量的夹角，进而转化为两条直线的夹角．
（II）首先根据题意写出P点的坐标，再分别求出两个平面的法向量，然后利用向量之间的运算求出两个向量的夹角，进而转化为两个平面的夹角，即可求出λ的数值．
【解析】
根据题意可得：以DA，DC，DA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则---------------（1分）
（Ⅰ）由以上可得：
∴
∴AC⊥A1B--------------（4分）
（Ⅱ）∵∴，
设平面AB1C1的一个法向量为，
因为
所以，
令则y1=-3，x1=0，
∴-----------------------（6分）
设平面B1C1P的一个法向量为，
因为
所以
∴-----------------（8分）
所以-------（10分）
解得：λ=2--------------------------------------------------------------（12分）