Question

某光学仪器厂有一条价值为a万元的激光器生产线，计划通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：
①y与（a-2x）•x²成正比；
②当时，，并且技术改造投入满足，其中t为常数且t∈（1，2]．
（I）求y=f（x）表达式及定义域；
（Ⅱ）求技术改造之后，产品增加值的最大值及相应x的值．

Answer

（I）设y=k（a-2x）x2．由时，可得k=4．所以y=4（a-2x）x2，由此能求出函数f（x）的定义域．
（II）由y=-8x3+4ax2，知．令y'=0得．因为t∈（1，2]，所以．由此能求出技术改造之后，产品增加值的最大值及相应x的值．
【解析】
（I）设y=k（a-2x）x2．
由时，可得k=4．
所以y=4（a-2x）x2．…（3分）
由，
解得．
所以函数f（x）的定义域为．…（6分）
（II）由（I）知y=-8x3+4ax2，
所以．
令y'=0得．…（8分）
因为t∈（1，2]，
所以，即．
当时，y'＞0，函数y=f（x）是增函数；
当时，y'＜0，函数y=f（x）是减函数．…（11分）
所以当时，函数y=f（x）取得最大值，且最大值是．…..（13分）
所以，1＜t≤2时，投入万元最大增加值万元．…（14分）