Question

已知f_n（x）=（1+x）+2（1+x）²+…+n（1+x）ⁿ=a_n0+a_n1x+…+a_nnxⁿ，n∈N^*，这些系数可形成如下数阵：
（1）求出a₃₁，a₃₂的值；
（2）若n=9，求a₉₁+a₉₅+a₉₇+a₉₉的值；
（3）求数列{a_ij}（其中i，j∈N^*，且1≤j≤i≤n）的和S．

Answer

本题考查排列与组合与二项式的综合题，由题设条件先将二项式的系数与数阵中的符号对应，
（1）由矩阵中的数与二项式系数的对应求出两数的值；
（2）根据二项式的性质，求出所有偶数项的系数的和，再从中排除a93既得；
（3）要求数列{aij}（其中i，j∈N*，且1≤j≤i≤n）的和S，可先求出每一行的和，再求出S．
【解析】
（1）由题意得a31=1+2C21+3C31=14，a32=2C22+3C32=11…..（2分）
 （2）∵a91+a93+a95+a97+a99==1+2×2+3×22+…+9×28=4097…..（4分）
而a93=3C33+4C43+…+9C931638
∴a91+a95+a97+a99=4097-1638=2459…（6分）
（3）Si==2+2×22+3×23+…+i×2i…..①
2Si=2=22+2×23+3×24+…+i×2i+1…②
由①-②，得
-Si=2+22+23+24+…+2i-i×2i+1=-i×2i+1=（1-i）×2i+1-2
∴Si=2+（i-1）×2i+1  …（9分）
而=
∴s==2n+23+2×24+3×25+…+（n-1）×2n+1- 
s′=23+2×24+3×25+…+（n-1）×2n+1③
2s′=24+2×25+3×26+…+（n-1）×2n+2④
由③-④，得-s′=23+24+…+2n+1-（n-1）×2n+2=-（n-1）×2n+2=（2-n）×2n+2-8s′=8+（n-2）×2n+2 
∴s=2n+8+（n-2）×2n+2-=2n+8+（n-2）×2n+2- 
s=2n+8+（n-2）×2n+2-…..（12分）