Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x+1，．f（-x）=f（x）且f（0）=1
（1）求f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．

Answer

（1）根据题意可设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）然后根据条件f（x+1）-f（x）=2x+1，．f（-x）=f（x）且f（0）=1
求出a，b，c的值即可求出f（x）的解析式．
（2）可在第一问的基础上利用一元二次函数的单调性得出f（x）在[-2，1]上的单调性然后根据单调性即可求出最大值和最小值．
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）
∵f（0）=1
∴c=1
∵f（-x）=f（x）
∴ax2-bx+c=ax2+bx+c
∴b=0
∵f（x+1）-f（x）=2x+1
∴a=1
∴f（x）=x2+1
（2）由（1）可得f（x）=x2+1
∴f（x）在[-2，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数
∴x=0时，ymin=1，x=-2时，ymax=5