Question

设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：
①且（n∈N^*，n≥2）；
②且．
（1）求及的坐标；
（2）设，求a_n的通项公式；
（3）对于（Ⅱ）中的a_n，是否存在最大的自然数M，对所有n∈N^*都有a_n≥M成立？若存在，求M值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由已知中x轴、y轴正方向上的单位向量分别是、，且，可得的坐标，由且．可得的坐标
（2）由已知中向量，的坐标，代入向量数量积公式可得an的通项公式
（3）由（3）中an的通项公式，结合基本不等式可得存在最大的自然数M=6，对所有n∈N*都有an≥M成立．
【解析】
（1）∵且（n∈N*，n≥2）
∴，
又∵且．
∴
=；…（4分）
（2）由（1）中，=
∴；…（8分）
（3），
当且仅当n=3时取得最小值6．
所以存在最大的自然数M=6，对所有n∈N*都有an≥M成立．（也可以由对号函数求解最小值）                          …（14分）