Question

定义域为R的函数f（x）满足以下两个条件：
①对于任意的x，y™R，均有f（x+y）=f（x）f（1-y）+f（1-x）f（y）成立；
②（x）在[0，1]上单调递增．
（Ⅰ） 求证：f（1）=1；
（Ⅱ） 判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅲ） 求满足的实数x的集合．

Answer

（Ⅰ） 通过赋值法，x=y=0，令x=0，y=1，以及，推出f（0）＜f（1），求出f（1）=1；
（Ⅱ） 说明函数f（x）的奇偶性，通过令y=-x，得f（0）=f（x）f（x+1）+f（1-x）f（-x）．令y=1，得f（x+1）=f（x）f（0）+f（1-x）f（1）=f（1-x）．推出对于任意的x∈R，恒有f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数．
（Ⅲ） 推出函数的周期，根据函数在[-2，2]的图象以及函数的周期性，即可求满足的实数x的集合．
【解析】
（Ⅰ）证明：令x=y=0，得 f（0）=2f（0）f（1），所以f（0）=0或．（1分）
令x=0，y=1，得f（1）=[f（0）]2+[f（1）]2．
若，则．
令，得．
即=，
因为f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（0）＜，矛盾！
因此f（0）=0，f（1）=[f（1）]2，f（1）=1．（3分）
（Ⅱ） f（x）是奇函数                   （4分）
令y=-x，得f（0）=f（x）f（x+1）+f（1-x）f（-x）．…①
令y=1，得f（x+1）=f（x）f（0）+f（1-x）f（1）=f（1-x）．…②
即对于任意的x∈R，恒有f（x-1）=-f（1-x），
代入①式得对于任意的x∈R，恒有f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得f（x）=f（2-x）=-f（x-2）=-f（4-x）=f（x-4），
即：函数f（x）的最小正周期为4．
令，，因为，，所以．
由②得：．
根据函数在[-2，2]的图象以及函数的周期性，
观察得，若，
则，
所以，（8分）