Question

已知函数f（x）=x³-ax²-a²x．
（Ⅰ）若x=1时函数f（x）有极值，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）若方程f（x）=0有三个不同的解，分别记为x₁，x₂，x₃，证明：f（x）的导函数f′（x）的最小值为．

Answer

（I）求出导函数，令极值点处的导数值为0，列出分成求出a的值，代入验证极值点左右两边的导数符号是否相反．
（II）令导函数等于0求出根，通过讨论a的范围确定出两个根的大小，令导函数大于0，求出单调递增区间．
（III）利用二次方程的韦达定理得到的值，利用（II）得到函数的极小值，得证．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=3x2-2ax-a2
∵当x=1时，f（x）有极值，
∴f'（1）=0
即3-2a-a2=0
∴a=1或a=-3
经检验a=1或a=-3符合题意
（Ⅱ）令f'（x）=0即3x2-2ax-a2=0
解得x=a或
（1）当a＞0时，
∴为增函数
∴f（x）的单调增区间为
（2）当
∴f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）
（3）当
∴为增函数
∴f（x）的单调增区间为
（Ⅲ）∵f（x）=x（x2-ax-a2）
∴x=0是f（x）的一个零点，设x1x2是方程x2-ax-a2=0的两根，
∴x1+x2=a

又知当取得最小值
即函数y=f'（x）的最小值为