Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点．
（I）求证：直线AE⊥平面A₁D₁E；
（II）求三棱锥A-A₁D₁E的体积．

Answer

（I）根据已知中长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，结合长方体的几何特征，我们可得AE⊥A1E，AE⊥A1D1，结合线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面A1D1E；
（II）由（I）的结论，我们可得AE即为三棱锥A-A1D1E的高，根据已知求出三棱锥的底面积，代入棱锥体积公式，即可求出三棱锥A-A1D1E的体积．
【解析】
（I）证明：∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点
∴AE=A1E=，AA1=2，
∴AA12=AE2+A1E2
∴AE⊥A1E
又∵D1A1⊥平面A1EA，AE⊂平面A1EA
∴AE⊥A1D1，又D1A1∩A1E=A1，
∴AE⊥平面A1D1E；
（II）由（I）中AE⊥平面A1D1E，
∴=•AE==