Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若Q是双曲线C上的任一点，F₁、F₂为双曲线C的左、右两个焦点，从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．

Answer

（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，根据题意可得k=±1，所以双曲线C的方程为，C的一个焦点与A关于直线y=x对称，可得双曲线的焦点坐标进而求出双曲线的标准方程．
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1|；若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|，根据双曲线的定义|TF2|=2，再利用相关点代入法求出轨迹方程即可．
【解析】
（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx-y=0
∵该直线与圆 相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x…（3分）
故设双曲线C的方程为，又∵双曲线C的一个焦点为
∴2a2=2，a2=1，∴双曲线C的方程为x2-y2=1…（6分）
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1|
若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|…（8分）
根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是①…（10分）
由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（xT，yT）
则…（12分）
代入①并整理得点N的轨迹方程为 …（14分）