Question

已知抛物线方程为x²=12y，直线l过其焦点，交抛物线于A、B两点，|AB|=16．
1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
2）求A、B中点的纵坐标．

Answer

1）由抛物线方程x2=12y即可求得其焦点坐标和准线方程；
2）（解法一）设直线l的斜率为k，设A（x1，y1），B（x2，y2），A、B的中点M（x，y），直线的方程：y=kx+3，
联立方程组得：，消去y，利用△＞0判断后，用弦长公式求得k，y可求；
（解法二）设直线l的斜率为k，设A（x1，y1），B（x2，y2），A、B的中点M（x，y），|FA|+|FB|=|AB|=16，由抛物线定义，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，可得y1+3+y2+3=16，而，从而问题解决．
【解析】
1）由抛物线方程为x2=12y，对比标准方程x2=2py（p＞0）可得2P=12，P=6，
∴焦点F（0，3），准线方程为：y=-3…（4分）
2）（解法一）设直线l的斜率为k，设A（x1，y1），B（x2，y2），A、B的中点M（x，y）．
则直线l的方程：y=kx+3，与抛物线联立方程组得：…（5分）
，…（7分）
消去y，整理得：x2-12kx-36=0…（9分）
方程中，△=（-12k）2-4（-36）=144k2+144＞0，有两个不同的根；
由根与系数的关系得：x1+x2=12k，x1x2=-36…（10分）
又|AB|=16，即，…（11分）
代入，整理得：，
∴…（12分）
∵M（x，y）在直线l上，
∴y=kx+3，…（13分）
∴y=5，即A、B中点的纵坐标为5…（14分）
（解法二）：设直线l的斜率为k，设A（x1，y1），B（x2，y2），A、B的中点M（x，y），
过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为P、Q，焦点F在弦AB上，…（5分）
|FA|+|FB|=|AB|=16，…（6分）
由抛物线定义，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，…（8分）
而|AP|=，…（9分）
|BP|=，…（10分
∴y1+3+y2+3=16，y1+y2=10，…（12分）
  …（13分）
即A、B中点的纵坐标为5…（14分）