Question

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R，q≠1）的等比数列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意自然数n均有，求c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值．

Answer

（Ⅰ）由于数列{an}是公差为d的等差数列，可由a3-a1=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d．
即 d2-（d-2）2=2d，解得 d的值，从而写出{an}的通项公式；同理，解得q的值，从而写出{bn}的通项公式．
（Ⅱ） 由题设知 ，∴c1=a2b1=2．
当n≥2时，，
，
两式相减，得．
∴cn=2nbn=2n•3n-1（c1=b1a2=2适合）．
再利用错位相消法计算化简得出c1+c3+c5+…+c2n-1的值
【解析】
（Ⅰ）由于数列{an}是公差为d的等差数列，
∴a3-a1=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d；即 d2-（d-2）2=2d，解得 d=2．
∴a1=f（2-1）=0，an=2（n-1）；
由于{bn}是公比为q（q∈R，q≠1）的等比数列
∴，∴；
∵q≠0，q≠1，∴q=3．
又b1=f（q-1）=1，∴bn=3n-1
（Ⅱ） 由题设知 ，∴c1=a2b1=2；
当n≥2时，，
，
两式相减，得；
∴cn=2nbn=2n•3n-1（c1=b1a2=2适合）．
设T=c1+c3+c5+…+c2n-1，
∴T=2+6×32+10×34+…+（4n-2）•32n-232T
=2×32+6×34+10×36+…+（4n-6）•32n-2+（4n-2）•32n
两式相减，得-8T=2+4×32+4×34+…+4×32n-2-（4n-2）•32n
=
=
=．
∴．