Question

如图，在棱长为a的正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）作出面A₁BC₁与面ABCD的交线l，判断l与直线A₁C₁位置关系，并给出证明；
（2）证明B₁D⊥面A₁BC₁；
（3）求直线AC到面A₁BC₁的距离；
（4）若以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出C，C₁两点的坐标．

Answer

（1）在平面ABCD内过点B作AC的平行线BE，由AC∥A1C1，AC∥BE，知BE∥A1C1，故直线BE就是所求的直线l．且l∥A1C1．
（2）由A1C1⊥面DBB1D1，知A1C1⊥B1D．由A1B⊥面ADC1B1，知A1B⊥B1D，所以B1D⊥面A1BC1．
（3）AC∥A1C1，且AC在面A1BC1外，A1C1⊂面A1BC1，所以AC∥面A1BC1，直线AC到面A1BC1的距离即为点A到面A1BC1的距离，记为h，由等积法能求出．
（4）若以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，能写出C，C1两点的坐标．
（1）【解析】
在平面ABCD内过点B作AC的平行线BE，
∵AC∥A1C1，AC∥BE，
∴BE∥A1C1，
∴面A1BC1与面ABCD的交线l与BE重合，
即直线BE就是所求的直线l．
∵BE∥A1C1，
l与BE重合，
∴l∥A1C1．
（2）证明：连接B1D1，
∵A1B1C1D1是正方形，
∴A1C1⊥B1D1，
∵A1C1⊥DD1，
∴A1C1⊥面DBB1D1，
∴A1C1⊥B1D．
同理A1B⊥面ADC1B1，
∴A1B⊥B1D，
∵A1C1∩A1B=A1，
∴B1D⊥面A1BC1．
（3）【解析】
∵AC∥A1C1，且AC在面A1BC1外，A1C1⊂面A1BC1，
∴AC∥面A1BC1，
∴直线AC到面A1BC1的距离即为点A到面A1BC1的距离，记为h，
在三棱锥中A-A1BC1中，
 ，
∵正方体A1B1C1D1-ABCD棱长为a，
∴=••h=×sin60°=，
=•A1C1==，
∵，
∴．
（4）【解析】
若以A为坐标原点，
分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∵正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为a，
∴C（a，a，0），C1（a，a，a）．