Question

数列{a_n}的前n项和记作S_n，满足S_n=2a_n+3n-12  （n∈N^*）．
（1）求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=，求证：b₁+b₂+…+b_n＜；
（3）若c_n=，且++…+＜log_a（6-a）对所有的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由Sn=2an+3n-12可得Sn-1=2an-1+3（n-1）-12  （n≥2），两式相减化简可得an-3=2（an-1-3），从而可求数列{an}的通项公式；
（2）bn==，从而b1+b2+…+bn=化简可证
（3）cn==，令Tn=   再写一式错位相减可知，从而Tn＜2故问题可转化为loga（6-a）≤2，进而问题得解．
【解析】
（1）Sn=2an+3n-12，Sn-1=2an-1+3（n-1）-12  （n≥2）
作差化简得到an-2an-1+3=0，所以an-3=2（an-1-3）且a1=9，
所以an-3=6•2n-1，所以an=3•2n+3
（2）bn==，∴b1+b2+…+bn==
（3）cn==，令Tn=++…+
错位相减得 ，∴Tn＜2  
∵++…+＜loga（6-a）对所有的正整数n恒成立，∴loga（6-a）≤2
当0＜a＜1时，6-a≤a2，∴a≥2或a≤-3
当1＜a＜6时，6-a≥a2，∴-3≤a≤2
综上，1≤a≤2．