Question

设f₁（x）=，定义f_n+1 （x）=f₁[f_n（x）]，a_n=（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+2na_2n，Q_n=（n∈N^*），试比较9T_2n与Q_n的大小，并说明理由．

Answer

（1）根据f1（x）=，定义fn+1 （x）=f1[fn（x）]，an=（n∈N*）．可得f1（0）=2，a1==，fn+1（0）=f1[fn（0）]=，从而an+1=-an．所以数列{an}是首项为，公比为-的等比数列，故可求数列{an}的通项公式．
（2）利用错误相减法求得T2n=（1-），从而9T2n=1-，又Qn=1-，故当n=1时，22n=4，（2n+1）2=9，所以9T2n＜Q n；当n=2时，22n=16，（2n+1）2=25，所以9T2n＜Qn；当n≥3时，22n=[（1+1）n]2=（Cn+Cn1+Cn3+…+Cnn）2＞（2n+1）2，从而得到结论．
【解析】
（1）∵f1（0）=2，a1==，fn+1（0）=f1[fn（0）]=，
∴an+1====-=-an．
∴数列{an}是首项为，公比为-的等比数列，
∴an=（）n-1．
（2）∵T2n=a1+2a2+3a3+…+（2n-1）a2n-1+2na2n，
∴T2n=（-a1）+（-）2a2+（-）3a3+…+（-）（2n-1）a2n-1+2na2n
=a2+2a3+…+（2n-1）a2n-na2n．
两式相减，得T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n．
∴T2n=+n×（-）2n-1=-（-）2n+（-）2n-1．
T2n=-（-）2n+（-）2n-1=（1-）．
∴9T2n=1-．
又Qn=1-，
当n=1时，22n=4，（2n+1）2=9，∴9T2n＜Q n；
当n=2时，22n=16，（2n+1）2=25，∴9T2n＜Qn；
当n≥3时，22n=[（1+1）n]2=（Cn+Cn1+Cn3+…+Cnn）2＞（2n+1）2，∴9T2n＜Qn；
综上得：9T2n＜Q n．